임정민

주어진 문제는 다음과 같습니다.

풀이과정은 어렵지 않으므로 생략하고 조건을 만족시키는 함수 f(x)를 찾아보겠습니다.

Cometarium : 타원궤도 행성의 운동을 보여주는 장치

얼핏 보기에는 면적속도 일정의 법칙을 만족시킬 것 같았으나, 직접 계산해보니 아무래도 맞아 떨어지지가 않아서

다시 검색해보니 정확한 시뮬레이션은 아니라고 한다. (흠...)

이 글에서는 타원으로 만들어진 기어가 존재 가능한지, 그리고 cometarium이 케플러 제 2법칙인 면적속도 일정의 법칙을 만족시킬 수 있는지 확인해본다.

우선 cometarium 의 작동원리를 보고 지오지브라로 재구성해보았다.

여기에 사용된 모든 도형은 타원이고 보다시피 잘 돌아가는것 처럼 보인다.

그러나 가운데 두 타원이 실제로 서로 미끄러지지 않고 회전하는지 확인해보아야 한다.

그것이 확인되어야만 톱니바퀴로 맞물려 돌아가는 운동이 가능할 것이다.

따라서 위의 시뮬레이션에 보이는 구성요소를 하나씩 늘려가면서 다음을 보이고자 한다.

(1) 초점이 고정된 두 타원이 서로 접하면서 회전할 수 있는가?

(2) (1)이 만족될 경우 두 타원은 접촉면에서 미끄러짐 없이 회전할 수 있는가?

(3) (1),(2)가 모두 만족될 경우 가장 오른쪽의 파란 점은 빨간 점을 기준으로 면적속도 일정의 법칙을 만족시키는가?

The latus rectum of a conic section is the chord through a focus parallel to the conic section directrix (Coxeter 1969).

Limit of (x-sinx)/x^3 when x->0

(without using L'hospital's rule)

 여기서 ii)의 경우 f(x)가 무한대로 발산하는 조건은 불필요한것으로 보이는데 이부분에 대해 조언 부탁드립니다.  

어떤 컷 β에 대해
A={α∈R | α<β} 라 하고 

γ를 α∈A인 모든 α들의 합집합이라 하자.

유리수 p에 대해 p∈γ 이면
어떤 α∈A에 대해 p∈α<β 이므로
p∈β
따라서 γ⊂β             ................................(1)

또 만약 p∈β 이면
컷의 성질에 의해 q > p 이면서 q∈β인 유리수 q가 존재한다.
이때 p∈α, q ∉α인 α는 α<β를 만족하므로 α∈A
따라서 α⊂γ이므로
p∈γ

따라서 β⊂γ             ................................(2)

(1), (2) 에서 γ=β

그리고 β는 β보다 작지 않으므로 γ∉ A 이다.

믿기 어려운 발견 두가지 :

1. β보다 작은 컷들의 합집합은, 그중 어떤 집합도 β가 아지니만, β가 된다.

2. A에 속한 집합들의 원소들만 가지고 집합을 만들었는데도 그 집합이 A의 원소가 될 수 없는 경우가 생긴다.

예를들어

1보다 작은 실수들을 모두 합집합 하면 0.9999.... 인데 그 값이 1보다 작다는 것은 증명할 수 없다.

오히려 지금의 실수체계 하에서는 0.9999....이 1 과 같다고 결론지을 수 밖에 없다.

이것은 0.9999....와 1을 구분할 수 있는 어떤 방법도 없다는 것을 의미한다.

이러한 결론은 항상 개구간으로 정의되는 실수 자체의 성질과, 집합의 상등에 관한 정의에서 기인한 것이다.

이렇게보면 0.9999....=1 이라는 등식은 '당연히 성립되는 것'은 아닌 것 같다.

1. 유리수 전체의 집합 Q에 대해서는 체 공리와 순서 공리에 의해 잘 정의되어 있다고 하자.

2. '컷(Cut)'

다음 세 성질을 만족하는 Q의 부분집합 α를 ‘컷’이라고 부른다.

 i) α≠∅, α≠Q
 ii) p∈α, q∈Q, q<p 이면 q∈α 이다.
 iii) p∈α 이면 어떤 r∈α 에 대해 p<r 이다.

3. '순서', ‘순서집합’
‘<’로 표현된 원소간의 관계에서 다음 두 성질을 '순서'라 하고 순서가 정의되는 집합 S를 ‘순서집합’이라고 부른다.

 i) x∈S, y∈S 이면 다음 명제 중 오직 하나만 참이다.  :  x<y,   x=y,   y<x
 ii) x,y,z∈S, x<y, y<z 이면 x<z이다.

x<y 인 관계를 ‘x가 y보다 작다(y가 x보다 크다)’라고 말한다.
‘x≤y’는 ‘x=y 또는 x<y’를 의미한다.

4. ‘위로 유계’, ‘상계’
S가 순서집합이고 E⊂S일 때, 어떤 β∈S가 x∈E인 모든 x에 대해 x≤β을 만족하면
E를 ‘위로 유계’라 하고, β를 E의 ‘상계’라 부른다.

5. 컷의 순서

서로 다른 두 컷 α, β에 대해

만약 α-β≠∅이고 β-α≠∅ 이라고 가정하면

p∈(α-β), q∈(β-α) 인 서로 다른 유리수 p, q가 존재한다.

유리수 집합은 순서집합이므로 p, q에 대해 다음중 하나만 참이다. :  p<q 또는 q<p

그런데 p<q 이면 컷의 성질 ii)에 의해 p∈β 이므로 p∉(α-β) 가 되어 가정에 모순이다.

또 q<p 이면 q∈α 이므로 q∉(β-α) 가 되어 가정에 모순이다.

결국 α-β, β-α 중 적어도 하나는 ∅이다.

그러나 α≠β이므로 α-β와 β-α가 모두 ∅은 아니다.

즉 α, β는 반드시 어떤 하나가 다른 것의 진부분집합이다.

그러므로 ‘α<β’를 ‘α가 β의 진부분집합이다.’로 정의하면  ....................................(1)

기호 '<' 는 순서의 성질 i)과 ii)를 모두 만족한다.

이 정의에 의해 컷 전체의 집합 R은 순서집합이 된다.

6. '최소상계'

S의 부분집합 E가 위로 유계일때, 다음 두 조건을 만족하는 S의 원소 c 를

'최소상계' 또는 '상한'이라 하고 'c = sup E' 로 표기한다.

i) c는 E의 상계이다. 

ii) S의 원소 d가 c보다 작으면  d는 E의 상계가 아니다. 

7. '최소상계성질'

순서집합 S가 다음 성질을 만족하면 '최소상계 성질을 갖는다'고 말한다. 

"S의, 공집합이 아닌 부분집합 E가 위로 유계이면 sup E가 존재한다."

8. '실수'

각각의 컷을 '실수'라고 부르고 모든 실수들의 집합을 R이라 한다.

이때 유리수 r은, r보다 작은 유리수들의 집합(컷)에 대응시켜 새로운 정의로 사용한다.

9. 실수의 최소상계성질 증명

R의 부분집합 A가 공집합이 아니고 위로 유계라고 하자.

그리고 γ를 α∈A인 모든 α들의 합집합이라 하자.

즉 'p∈γ’ ⇔ ‘어떤 α∈A에 대해 p∈α’ 

각각의 컷은 집합이고 컷의 성질 i)에 의해 공집합이 아니므로 각각 유리수인 원소를 갖는다.
따라서 γ≠∅             ..............................................................................................................(3)

A는 위로 유계이므로 A의 상계 β가 존재한다.
p∈γ 이면
어떤 α∈A에 대해 p∈α 이다.
그런데 α≤β 이므로 (1)에 의해 α⊂β 이므로 p∈β 이다.
따라서 γ≤β 이다.
즉 γ⊂β
그런데 컷의 성질 i)에 의해 β≠Q 이므로 γ≠Q 이다.  ...................................................(4)

p∈γ, q∈Q, q<p 이면
p∈γ 이므로 어떤 α∈A에 대해 p∈α이고

컷의 성질 ii)에 의해 p∈α, q∈Q, q<p 이면 q∈α이다.
따라서 q∈γ               .............................................................................................................(5)

다음으로 p∈γ 이면
어떤 α∈A에 대해 p∈α 이다.

컷의 성질 ii)에 의해 p<r 이면서 r∈α인 r이 존재한다.

즉 p∈γ 이면 어떤 r∈γ 에 대해 p<r 이다.   ....................................................................(6)

(3),(4),(5),(6)에 의해 γ는 컷이다.           ............................................................................(7)

A의 임의 원소 α에 대해 α ⊂ γ 이고 γ는 컷이므로 α ≤ γ 이다.

따라서 γ는 A의 상계이다.          ...........................................................................................(8)

만약 어떤 컷 δ가 γ보다 작으면

δ는 γ의 진부분집합이므로

γ에는 속하면서 δ에는 속하지 않는 유리수 s가 존재한다.

s가 γ의 원소이므로 s∈α∈A인 α가 존재한다.

컷 사이에는 대소관계가 존재하므로 α ⊂ δ이거나 δ ⊂ α인데

α에는 속하면서 δ에는 속하지 않는 유리수 s가 존재하므로 α ⊄ δ 이다.

따라서 δ ⊂ α 이고 δ ≠ α 이므로 δ < α ∈A 가 되어

δ는 A의 상계가 아니다.      

따라서 어떤 컷 δ가 γ보다 작으면 δ는 A의 상계가 아니다.     ..................................(9)

(7),(8),(9)에서 γ는 A의 최소상계이다.

그리고 (공집합이 아닌) A의 원소들의 합집합은 항상 존재하므로

A의 최소상계 γ는 항상 존재한다.

이로써 증명이 끝났다.

다음 세가지 질문에 답해보자.

1. 꼬인 두 직선 ℓ과 m, ℓ위의 임의 점 P와 m위의 임의 점 Q에 대해 PQ가 최소일때는 PQ가 ℓ, m과 모두 수직일 때인가?

2. ℓ, m과 모두 수직이 되는 PQ는 항상 존재하는가?

3. ℓ, m과 모두 수직이 되는 PQ는 유일한가?

꼬인 두 직선 ℓ, m에 대하여

평행선공리에 의해 m위의 임의 점을 지나면서 ℓ 과 평행한 직선 ℓ'은 유일하게 존재한다.

그리고 m과 ℓ'에 의해 결정되는 평면 α가 유일하게 존재한다.

ℓ과 ℓ'으로 결정된 평면을 β라 하면 α와 β의 교선이 ℓ'이므로

만약 ℓ과 α가 만난다면 그 교점은 ℓ' 위의 점이 되어 모순이 된다.

따라서 ℓ//α 이다.

ℓ 의 α위로의 정사영을 h라 하면 h와 m의교점 Q'은 유일하게 존재한다. (ℓ 과 m은 평행하지 않으므로) .............(1)

ℓ의 정사영이 h이므로 ℓ과 h는 한 평면에 존재한다.

그런데 ℓ//α 이므로 ℓ과 h는 만나지 않는다. 따라서 ℓ//h 이다.

ℓ과 h를 포함하는 평면 위에서 Q'을 지나면서 h에 수직인 직선이 ℓ과 만나는 점을 P'이라 하고

ℓ 위의 임의점 P와 m 위의 임의점 Q에 대하여 P의 α위로의 정사영을 H라 하면

직각삼각형 △PQH의 빗변이 PQ이므로  PQ ≥ PH=(상수)

그런데 PH = P'Q' 이므로

PQ의 최솟값은  P'Q' 과 같다.                            ......................................(2)

P≠P' 이거나 Q≠Q' 이면 PQ는 최소가 아니다.

이때 P'Q'⊥α 이므로 P'Q'⊥m 이고 P'Q'⊥ℓ 이다.      ..............................(3)

이제 ℓ,m에 모두 수직인 직선 PQ가 존재한다면 그 직선은 유일함을 보이자.

m 위의 임의 점 Q에 대해 Q와 ℓ을 포함하는 평면은 유일하고

그 평면 위에서 PQ⊥ℓ 이 되도록 하는, ℓ 위의 점 P는 유일하다.

이때 Q를 지나면서 ℓ에 평행한 직선을 ℓ"이라 하면 PQ⊥ℓ"이 된다.

그런데 PQ⊥ℓ 이면서 PQ⊥m 까지 성립한다면 PQ⊥α여야 한다. (PQ가 ℓ"과 m에 모두 수직이어야 하므로)

결국 P에서 α에 내린 수선의 발이 m과 만나야 하는데 이는 h와 m의 교점인 Q'으로 유일하다.

즉, ℓ과 m에 모두 수직인 PQ는 P'Q' 뿐이다.      ..................................(4)

이상에서

(2), (3)에 의해 꼬인 직선간의 최단거리는 수직-수직 거리이다.

(1) 에 의해 수직-수직이 되는 PQ는 항상 존재한다.

(4)에 의해 수직-수직이 되는 PQ는 유일하다.

**한편 이 결론을 이용하면 ℓ과 m의 최단거리는 ℓ과α 사이의 거리와 같으므로

방정식으로 주어진 두 직선 사이의 최단거리를 아래와 같은 방법으로 구할 수 있다.

1. ℓ 과 m의 방향벡터를 외적하여 α의 법선벡터를 구한다.

2. m 위의 적당한 점을 대입하여 평면 α의 방정식을 구한다.

3. ℓ 위의 적당한 점으로부터 α까지의 거리를 (점과 평면 사이의 거리공식으로) 구한다.

m//n 임을 보이려면 m과 n이 만나지 않으면서 한 평면에 있음을 보이면 된다.

만약 P∈m∩n 인 P가 있다고 가정하면

m⊂α, n⊂β, α∩β=ℓ 이므로

P∈(m∩n)⊂(α∩β)=ℓ

따라서 P∈m∩ℓ=Ø 이 되어 모순

따라서 m∩n=Ø    ........................(1)

이제 n위의 점 R에 대해 m과 R로 결정된 평면을 γ 라 하고 γ∩β=n'이라 하자

만약 Q∈ℓ∩n' 인 Q가 있다고 가정하면