원시 피타고라스 수 구하기

서로소이면서 x² + y² = z² 을 만족하는 세 자연수 x, y, z를 원시 피타고라스 수라고 한다.

 

원시 피타고라수 수를 구해보자.

 

x, y, z가 서로소이면서 등호가 성립하려면 z는 홀수이고 x, y 는 하나만 짝수여야 함을 알 수 있다.

그 짝수를 x로 두자.

그러면 x = 2x' ,  y = 2y'-1 ,  z = 2z'-1 로 나타낼 수 있다.

 

이것을 x² + y² = z² 에 대입한 후 변형하면

x'² = (z'+y'-1)(z'-y') 을 얻는다. 

 

x'² 은 제곱수이므로 위 식을 만족하려면 

적당한 자연수 G와 서로소인 자연수 m, n에 대해 

x'² = G²m²n² ,  z'+y'-1 = Gm² , z'-y' = Gn² 꼴이어야 한다.

 

위 식을 연립하여 x, y, z를 구하면

x = 2x'    = 2Gmn

y = 2y'-1 = G(m²-n²)

z = 2z'-1 = G(m²+n²)

 

여기서 x, y, z가 서로소이므로 G=1을 대입하면

x=2mn,  y=m²-n² ,  z=m²+n² 을 얻는다. (m, n은 서로소, m>n)

위와같이 표현된 x, y, z 중에서 공약수를 가지는 경우는 제외해야 한다.

x = 2mn이므로 2, m의 약수, n의 약수는 모두 x의 약수이다.

그런데 m의 약수는 n²의 약수가 될 수 없으므로 y와 z의 약수가 될 수 없다.

마찬가지로 n의 약수도 y와 z의 약수가 될 수 없다.

 

따라서 x, y, z의 (1 아닌) 공약수로 가능한 것은 2 뿐이다.

그러므로 x, y, z가 서로소이려면 y, z 중 홀수가 있는 것으로 충분하다.

 

m, n이 모두 짝수이거나 모두 홀수이면 y와 z가 모두 짝수이고

m, n 중 하나만 홀수이면 y와 z가 모두 홀수이다.

이는 m+n이 홀수인 것과 같다.

 

이로써 원시 피타고라스 수를 빠짐없이 구할 수 있게 되었다.

  

x = 2mn ,  y = m²-n² ,   z = m²+n²   (m,n은 서로소인 자연수, m>n, m+n은 홀수)

 

m, n 값을 차례로 대입하여 구해보면 아래와 같다.

 

m	n	2mn	m²-n²	m²+n²	x²+y²-z²
2   3   4   4   5   5	1   2   1   3   2   4	4   12   8   24   20   40	3   5   15   7   21   9	5   13   17   25   29   41	0   0   0   0   0   0