l//m, l//n 이면 m//n 임을 증명

 

m//n 임을 보이려면 m과 n이 만나지 않으면서 한 평면에 있음을 보이면 된다.

 

만약 P∈m∩n 인 P가 있다고 가정하면

m⊂α, n⊂β, α∩β=ℓ 이므로

P∈(m∩n)⊂(α∩β)=ℓ

따라서 P∈m∩ℓ=Ø 이 되어 모순

따라서 m∩n=Ø    ........................(1)

이제 n위의 점 R에 대해 m과 R로 결정된 평면을 γ 라 하고 γ∩β=n'이라 하자

만약 Q∈ℓ∩n' 인 Q가 있다고 가정하면

ℓ⊂α, n'⊂γ, α∩γ=m 이므로

Q∈(ℓ∩n')⊂(α∩γ)=m

따라서 Q∈ℓ∩m=Ø 이 되어 모순

따라서 ℓ∩n'=Ø

또한 ℓ⊂β, n'⊂β 이므로 ℓ//n'

그런데 ℓ//n, ℓ//n' 이고 R∈n∩n' 이므로

플레이페어공준에 의해 n=n'

따라서 m과 n'이 한평면에 있으므로

m과 n이 한평면에 있다.   ..........................(2)

(1)과 (2)로부터 m//n       (증명 끝)

 

* 플레이페어 공준(평행선 공리와 동치):

"In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point"

평면에서, 주어진 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점에 대해, 그 점을 지나면서 주어진 직선에 평행한 직선은 많아야 한개다.