실수의 최소상계성질(완비성) 증명

1. 유리수 전체의 집합 Q에 대해서는 체 공리와 순서 공리에 의해 잘 정의되어 있다고 하자.

2. '컷(Cut)'

다음 세 성질을 만족하는 Q의 부분집합 α를 ‘컷’이라고 부른다.

 i) α≠∅, α≠Q
 ii) p∈α, q∈Q, q<p 이면 q∈α 이다.
 iii) p∈α 이면 어떤 r∈α 에 대해 p<r 이다.

3. '순서', ‘순서집합’
‘<’로 표현된 원소간의 관계에서 다음 두 성질을 '순서'라 하고 순서가 정의되는 집합 S를 ‘순서집합’이라고 부른다.

 i) x∈S, y∈S 이면 다음 명제 중 오직 하나만 참이다.  :  x<y,   x=y,   y<x
 ii) x,y,z∈S, x<y, y<z 이면 x<z이다.

x<y 인 관계를 ‘x가 y보다 작다(y가 x보다 크다)’라고 말한다.
‘x≤y’는 ‘x=y 또는 x<y’를 의미한다.

4. ‘위로 유계’, ‘상계’
S가 순서집합이고 E⊂S일 때, 어떤 β∈S가 x∈E인 모든 x에 대해 x≤β을 만족하면
E를 ‘위로 유계’라 하고, β를 E의 ‘상계’라 부른다.

5. 컷의 순서

서로 다른 두 컷 α, β에 대해

만약 α-β≠∅이고 β-α≠∅ 이라고 가정하면

p∈(α-β), q∈(β-α) 인 서로 다른 유리수 p, q가 존재한다.

유리수 집합은 순서집합이므로 p, q에 대해 다음중 하나만 참이다. :  p<q 또는 q<p

그런데 p<q 이면 컷의 성질 ii)에 의해 p∈β 이므로 p∉(α-β) 가 되어 가정에 모순이다.

또 q<p 이면 q∈α 이므로 q∉(β-α) 가 되어 가정에 모순이다.

결국 α-β, β-α 중 적어도 하나는 ∅이다.

그러나 α≠β이므로 α-β와 β-α가 모두 ∅은 아니다.

즉 α, β는 반드시 어떤 하나가 다른 것의 진부분집합이다.

그러므로 ‘α<β’를 ‘α가 β의 진부분집합이다.’로 정의하면  ....................................(1)

기호 '<' 는 순서의 성질 i)과 ii)를 모두 만족한다.

이 정의에 의해 컷 전체의 집합 R은 순서집합이 된다.

6. '최소상계'

S의 부분집합 E가 위로 유계일때, 다음 두 조건을 만족하는 S의 원소 c 를

'최소상계' 또는 '상한'이라 하고 'c = sup E' 로 표기한다.

i) c는 E의 상계이다. 

ii) S의 원소 d가 c보다 작으면  d는 E의 상계가 아니다. 

7. '최소상계성질'

순서집합 S가 다음 성질을 만족하면 '최소상계 성질을 갖는다'고 말한다. 

"S의, 공집합이 아닌 부분집합 E가 위로 유계이면 sup E가 존재한다."

8. '실수'

각각의 컷을 '실수'라고 부르고 모든 실수들의 집합을 R이라 한다.

이때 유리수 r은, r보다 작은 유리수들의 집합(컷)에 대응시켜 새로운 정의로 사용한다.

9. 실수의 최소상계성질 증명

R의 부분집합 A가 공집합이 아니고 위로 유계라고 하자.

그리고 γ를 α∈A인 모든 α들의 합집합이라 하자.

즉 'p∈γ’ ⇔ ‘어떤 α∈A에 대해 p∈α’ 

각각의 컷은 집합이고 컷의 성질 i)에 의해 공집합이 아니므로 각각 유리수인 원소를 갖는다.
따라서 γ≠∅             ..............................................................................................................(3)

A는 위로 유계이므로 A의 상계 β가 존재한다.
p∈γ 이면
어떤 α∈A에 대해 p∈α 이다.
그런데 α≤β 이므로 (1)에 의해 α⊂β 이므로 p∈β 이다.
따라서 γ≤β 이다.
즉 γ⊂β
그런데 컷의 성질 i)에 의해 β≠Q 이므로 γ≠Q 이다.  ...................................................(4)

p∈γ, q∈Q, q<p 이면
p∈γ 이므로 어떤 α∈A에 대해 p∈α이고

컷의 성질 ii)에 의해 p∈α, q∈Q, q<p 이면 q∈α이다.
따라서 q∈γ               .............................................................................................................(5)

다음으로 p∈γ 이면
어떤 α∈A에 대해 p∈α 이다.

컷의 성질 ii)에 의해 p<r 이면서 r∈α인 r이 존재한다.

즉 p∈γ 이면 어떤 r∈γ 에 대해 p<r 이다.   ....................................................................(6)

(3),(4),(5),(6)에 의해 γ는 컷이다.           ............................................................................(7)

A의 임의 원소 α에 대해 α ⊂ γ 이고 γ는 컷이므로 α ≤ γ 이다.

따라서 γ는 A의 상계이다.          ...........................................................................................(8)

만약 어떤 컷 δ가 γ보다 작으면

δ는 γ의 진부분집합이므로

γ에는 속하면서 δ에는 속하지 않는 유리수 s가 존재한다.

s가 γ의 원소이므로 s∈α∈A인 α가 존재한다.

컷 사이에는 대소관계가 존재하므로 α ⊂ δ이거나 δ ⊂ α인데

α에는 속하면서 δ에는 속하지 않는 유리수 s가 존재하므로 α ⊄ δ 이다.

따라서 δ ⊂ α 이고 δ ≠ α 이므로 δ < α ∈A 가 되어

δ는 A의 상계가 아니다.      

따라서 어떤 컷 δ가 γ보다 작으면 δ는 A의 상계가 아니다.     ..................................(9)

(7),(8),(9)에서 γ는 A의 최소상계이다.

그리고 (공집합이 아닌) A의 원소들의 합집합은 항상 존재하므로

A의 최소상계 γ는 항상 존재한다.

이로써 증명이 끝났다.