꼬인 두 직선 사이의 최단거리

다음 세가지 질문에 답해보자.

1. 꼬인 두 직선 ℓ과 m, ℓ위의 임의 점 P와 m위의 임의 점 Q에 대해 PQ가 최소일때는 PQ가 ℓ, m과 모두 수직일 때인가?

2. ℓ, m과 모두 수직이 되는 PQ는 항상 존재하는가?

3. ℓ, m과 모두 수직이 되는 PQ는 유일한가?

 

 

꼬인 두 직선 ℓ, m에 대하여

평행선공리에 의해 m위의 임의 점을 지나면서 ℓ 과 평행한 직선 ℓ'은 유일하게 존재한다.

그리고 m과 ℓ'에 의해 결정되는 평면 α가 유일하게 존재한다.

ℓ과 ℓ'으로 결정된 평면을 β라 하면 α와 β의 교선이 ℓ'이므로

만약 ℓ과 α가 만난다면 그 교점은 ℓ' 위의 점이 되어 모순이 된다.

따라서 ℓ//α 이다.

ℓ 의 α위로의 정사영을 h라 하면 h와 m의교점 Q'은 유일하게 존재한다. (ℓ 과 m은 평행하지 않으므로) .............(1)

ℓ의 정사영이 h이므로 ℓ과 h는 한 평면에 존재한다.

그런데 ℓ//α 이므로 ℓ과 h는 만나지 않는다. 따라서 ℓ//h 이다.

ℓ과 h를 포함하는 평면 위에서 Q'을 지나면서 h에 수직인 직선이 ℓ과 만나는 점을 P'이라 하고

ℓ 위의 임의점 P와 m 위의 임의점 Q에 대하여 P의 α위로의 정사영을 H라 하면

직각삼각형 △PQH의 빗변이 PQ이므로  PQ ≥ PH=(상수)

그런데 PH = P'Q' 이므로

PQ의 최솟값은  P'Q' 과 같다.                            ......................................(2)

P≠P' 이거나 Q≠Q' 이면 PQ는 최소가 아니다.

이때 P'Q'⊥α 이므로 P'Q'⊥m 이고 P'Q'⊥ℓ 이다.      ..............................(3)

 

이제 ℓ,m에 모두 수직인 직선 PQ가 존재한다면 그 직선은 유일함을 보이자.

m 위의 임의 점 Q에 대해 Q와 ℓ을 포함하는 평면은 유일하고

그 평면 위에서 PQ⊥ℓ 이 되도록 하는, ℓ 위의 점 P는 유일하다.

이때 Q를 지나면서 ℓ에 평행한 직선을 ℓ"이라 하면 PQ⊥ℓ"이 된다.

그런데 PQ⊥ℓ 이면서 PQ⊥m 까지 성립한다면 PQ⊥α여야 한다. (PQ가 ℓ"과 m에 모두 수직이어야 하므로)

결국 P에서 α에 내린 수선의 발이 m과 만나야 하는데 이는 h와 m의 교점인 Q'으로 유일하다.

즉, ℓ과 m에 모두 수직인 PQ는 P'Q' 뿐이다.      ..................................(4)

 

 

이상에서

(2), (3)에 의해 꼬인 직선간의 최단거리는 수직-수직 거리이다.

(1) 에 의해 수직-수직이 되는 PQ는 항상 존재한다.

(4)에 의해 수직-수직이 되는 PQ는 유일하다.

 

 

**한편 이 결론을 이용하면 ℓ과 m의 최단거리는 ℓ과α 사이의 거리와 같으므로

방정식으로 주어진 두 직선 사이의 최단거리를 아래와 같은 방법으로 구할 수 있다.

1. ℓ 과 m의 방향벡터를 외적하여 α의 법선벡터를 구한다.

2. m 위의 적당한 점을 대입하여 평면 α의 방정식을 구한다.

3. ℓ 위의 적당한 점으로부터 α까지의 거리를 (점과 평면 사이의 거리공식으로) 구한다.