0.9999....=1의 재발견

어떤 컷 β에 대해
A={α∈R | α<β} 라 하고 

γ를 α∈A인 모든 α들의 합집합이라 하자.

유리수 p에 대해 p∈γ 이면
어떤 α∈A에 대해 p∈α<β 이므로
p∈β
따라서 γ⊂β             ................................(1)

또 만약 p∈β 이면
컷의 성질에 의해 q > p 이면서 q∈β인 유리수 q가 존재한다.
이때 p∈α, q ∉α인 α는 α<β를 만족하므로 α∈A
따라서 α⊂γ이므로
p∈γ

따라서 β⊂γ             ................................(2)

(1), (2) 에서 γ=β

그리고 β는 β보다 작지 않으므로 γ∉ A 이다.

믿기 어려운 발견 두가지 :

1. β보다 작은 컷들의 합집합은, 그중 어떤 집합도 β가 아지니만, β가 된다.

2. A에 속한 집합들의 원소들만 가지고 집합을 만들었는데도 그 집합이 A의 원소가 될 수 없는 경우가 생긴다.

예를들어

1보다 작은 실수들을 모두 합집합 하면 0.9999.... 인데 그 값이 1보다 작다는 것은 증명할 수 없다.

오히려 지금의 실수체계 하에서는 0.9999....이 1 과 같다고 결론지을 수 밖에 없다.

이것은 0.9999....와 1을 구분할 수 있는 어떤 방법도 없다는 것을 의미한다.

이러한 결론은 항상 개구간으로 정의되는 실수 자체의 성질과, 집합의 상등에 관한 정의에서 기인한 것이다.

이렇게보면 0.9999....=1 이라는 등식은 '당연히 성립되는 것'은 아닌 것 같다.