임정민

Cane Creek eebrake 는 직관적이고 쉽게 분해되는 구조를 가지고 있습니다. 

그래서 이 글에서는 EE브레이크를 역학적으로 분석해봅니다. 

오랜만에 생각하는 거라 오류가 있을 수 있으니 발견하시면 댓글 부탁드립니다..

브레이크의 특성상 정역학만을 생각해보겠습니다. 

정역학은 알짜힘이 0 인 상황을 대상으로 하므로

대상 물체는 정지(또는 등속운동) 상태에 있습니다. 

ee브레이크의 구조는 위와 같습니다. 

그림과 같이 브레이크를 고정시키는 마운트볼트는 중앙 상단에 있습니다. 

이 볼트는 브레이크가 움직이지 않게 고정시키는데

병진운동 뿐만 아니라 회전운동도 하지 않도록 고정시키는 역할을 합니다. 

그러나 회전운동에 대한 저항은 매우 큰 것은 아니어서 

브레이크를 손으로 잡고 돌리는 등, 어느 이상의 토크를 받으면 회전하게 됩니다. 

레버를 잡을 때 움직이는 모습입니다. 

ee브레이크의 작동을 관찰해보면 일반적인 형태의 브레이크보다 

좌우 패드가 더 대칭적으로 움직이는 것처럼 보입니다. 

그래서 이렇게 되는 이유를 역학으로 분석해보도록 하겠습니다. 

다음은 기하적 구조를 확인하기 위한 정면 사진입니다. 

그러면 사진과 함께 하나 하나 분석해보겠습니다. 

맨 앞에 보이는 가는 말굽모양의 철사는 스프링입니다. 

이 스프링은 브레이크를 벌어져 있도록 해줍니다. 

따라서 스프링은 저 두 지점을 통해 브레이크 본체에 서로 벌어지는 방향의 힘을 가해줍니다.

스프링은 위 두 힘의 각각에 대한 작용반작용 쌍의 힘을 받습니다. 

이때 스프링은 역시 멈추어있고 가속운동을 하지 않으므로 그 두 힘의 합력은 0입니다. 

그러므로 그 두 힘에 대한 작용반작용 쌍이 되는 위에 표시된 두 힘의 합력도 0입니다. 

합력이 0이라는 것은 두 힘이 크기가 같고 방향이 반대임을 의미합니다. 

더욱이 두 힘은 그림과 같이 두 작용점을 연결한 직선에 평행합니다. 

만약 위 그림과 같이 일직선이 되지 않는다면 스프링은 토크를 받아 회전할 것이기 때문입다. 

즉, 합력이 0이어서 병진운동을 하지 않을 뿐 아니라

토크 또한 0이 되어서 회전도 하지 않고, 두 힘은 위와같이 예쁘게 정렬되어 서로 반대로 작용하고 있습니다. 

좌우의 큰 지렛대가 서로 대칭인 모습을 하고 있으며 받는 힘도 서로 같으므로 

이제 대칭적인 상황 하에서 다른 부분이 어떻게 힘을 받는지 확인해보겠습니다. 

손으로 레버를 잡으면 케이블 하우징과 이너 케이블이 브레이크에 위와같은 두 힘을 가합니다. 

이너케이블은 브레이크의 오른쪽 하단 회전축에 고정됩니다. 

따라서 이너케이블이 오른쪽 하단을 위로 잡아당기는 동시에 하우징은 중앙 상단을 아래로 밀어내립니다. 

이때 하우징은 나사산이 있는 관의 아랫부분을 밀어 내리고, 

그 관은 나사산을 통해 그 위의 동그란 부품을 밀어내립니다. 

이 동그란 부품이 지렛대를 아래로 밀어내리고 있으므로 그림에서는 지렛대가 받는 힘만 표시하였습니다. 

이때 마찬가지로 표시된 두 힘은 서로 크기가 같고 방향이 반대이며,

두 힘의 방향과 두 작용점을 연결한 직선이 서로 평행합니다. 

이러한 이유는 위에서 설명한 것과 같이 병진가속과 회전가속이 없어야 하기 때문이기도 하고,

한편으로 장력은 특성상 항상 줄의 접선방향으로만 힘을 가할 수 있는데 

보다시피 케이블이 해당 구간에서 직선을 이루고 있기 때문이기도 합니다. 

이 두 힘의 합력이 0이므로 브레이크는 여전히 정지상태에 있으며 회전하는 힘도 받지 않습니다. 

사실은 케이블 하우징이 탄성에 의해 펴지려 하면서 

저 상단의 작용점 부분에 오른쪽으로 향하는 힘을 조금은 가할 수 있습니다. 

그런 식으로 브레이크에 토크를 가할 수도 있지만

케이블링이 적당하면 그 힘은 매우 작을 뿐 아니라, 

설령 있다 하더라도 브레이크 마운트 볼트에 의해 고정되어 있으므로 토크는 무시할 수 있습니다. 

케이블 하우징은 놀랍게도 다음 두가지 요구를 만족시킵니다. 

1. 잘 휘어져서 원하는 방향으로 케이블링을 할 수 있게 하면서도 불필요한 저항은 최소화해야 합니다. 

2. 그 긴 관이 거의 압축이 되지 않아서 양 끝단에 가해지는 압력에 효과적으로 저항해야 합니다. 

사실 브레이크 레버의 on-off 느낌이 확실하려면 긴 하우징의 역할이 꽤 중요할 것임을 알 수 있습니다. 

물론 하우징이 압축되지 않아야 하는만큼 이너케이블도 늘어나지 않아야 합니다. 

힘이 가해졌을 때 압축되거나 늘어나는 길이는 그 관 또는 케이블의 길이에 비례하므로

같은 재질이라도 길어지면 더 스폰지해질 수밖에 없습니다. 

이것이 케이블선이 길어지는 뒷브레이크의 작용감이 앞브레이크만큼 되기 어려운 이유중 하나입니다. 

만약 하우징이 잘 압축된다면, 브레이크암이 완전히 림을 잡아서 움직이지 않는 상태에서도 

레버가 움직이게 되어 스폰지한 브레이크 감을 만들어낼 것입니다. 

물론 여기에는 브레이크 캘리퍼 자체나 패드가 압축되는 효과도 큽니다.

그래서 패드가 얇아질수록 브레이크감은 좋아집니다. 

다음으로 브레이크를 가로지르고 있는 막대를 봅니다. 

이 막대가 외부로부터 힘을 받을 수 있는 지점은 두 곳 뿐이고 그 지점은 회전할 수 있도록 되어 있습니다. 

이 막대가 또한 완전히 정지해 있으므로 위에서 설명한바와 같이 

두 힘은 서로 크기가 같고 방향이 반대여야 하고 두 작용점을 연결한 직선에 평행해야 합니다. 

사실은 중력이 작용하고 있고 양 작용점에서 위쪽으로 받는 힘도 있습니다만

여기서는 그 힘의 크기가 상대적으로 매우 작고 사실상 브레이크의 작동과도 무관하므로 

중력의 작용은 무시할 수 있습니다. 

이제 오른쪽 지렛대를 살펴봅니다. 

여기에는 회전이 관련되어 상황이 좀더 복잡해졌습니다. 

우선 작용점은 그림과 같이 세 곳이고 그 중 가운데 작용점은 노란 패널로 견고하게 연결되어 있습니다. 

노란 앞판은 마운트볼트에 고정되어 있고 회전도 되지 않으므로 

이 가운데 작용점 부분은 완전히 고정되어 어떤 힘이라도 항력으로 평형을 만들어버리는 역할을 합니다. 

마치 쓰레기통처럼 다른 부분의 힘들이 브레이크를 움직이지 못하도록 0으로 보상시켜버리는 것입니다. 

위에서 관찰한 결과에 따라 위쪽과 아래쪽 작용점에 작용하는 두 힘을 빨간색으로 표시했습니다. 

이 두 힘은 위에서 이미 살펴본 힘 또는 그것의 작용반작용쌍입니다. 

그러므로 두 빨간색 힘이 브레이크를 움직이지 못하도록 

그 두힘의 합력과 크기는 같고 방향이 반대인 힘을 가운데 작용점에 그려주면 정확한 작도가 됩니다. 

이 힘을 녹색으로 표현했는데 위에 언급한 쓰레기통 효과에 의해 알짜힘이 0이 되는 것입니다. 

이와같이 노란 패널은 두 힘에 대항하여 오른쪽 지렛대를 중심쪽으로 당겨주고 있습니다. 

이제 회전문제로 넘어가겠습니다.

이 지렛대는 본래 가운데 작용점을 축으로 자유롭게 회전되므로 

빨간색으로 그려진 두 힘을 원심방향과 원심에 수직인 방향, 즉 접선방향으로 분해하면 

효과적인 분석이 가능해집니다. 

여기서 F로 표현된 힘은 지금은 스프링에 의해 받는 힘이지만

만약 패드가 림에 접촉되어 패드로부터 힘을 직접 받게 되더라도 역학적 상황은 거의 같습니다. 

만약 저기 써진 F가 패드가 림을 누르는 힘이라고 가정하고

림과 패드 사이의 운동마찰계수를 μ라 하면 양쪽 패드에 의해 림에 가해지는 마찰력은 2μF 입니다. 

한편 림과 패드가 접촉하며 움직이는 거리는 자전거가 이동한 거리와 거의 같으므로 

브레이크가 작동하면서 자전거가 이동한 거리를 L이라 할 때

패드와 림 사이의 마칠에 필요한 에너지는 2μFL 입니다. 

이 에너지는 탑승자와 자전거의 운동에너지로부터 와서 

대부분 열에너지로 전환되어버립니다. 

한편 바퀴를 감속시키면서 타이어에 힘이 전달되어 타이어 바닥면은 지면과 정지마찰을 당하게 됩니다. 

이때 운동마찰이 아니라 정지마찰인 이유는 타이어의 접지면이 항상 지면에서 미끄러지지 않기 때문입니다. 

타이어가 지면으로부터 마찰력을 받으면 이 마찰력에 의해 자전거가 감속됩니다. 

이 과정에서 운동에너지가 림과 패드를 마찰 시키는 일을 하였으므로 

만약 정지할 때까지 브레이크 레버에 일정한 힘을 가했다고 가정하고

자전거와 사람의 질량의 합을 M, 제동하기 전의 속도를 v라 하면 Mv² = 4μFL 이 성립합니다. 

힘 F가 계속 변한 경우에는 우변의 식을 F의 L에 대한 적분으로 바꿔주면 되겠습니다. 

패드가 림을 누르는 힘 F를 구하려면 물론 직접 측정을 할 수도 있겠지만,

그 힘의 크기 자체보다는 손가락 힘에 대한 패드의 힘의 비율은 고정되어 있으므로

그 고정된 비율 값을 알아보는 것이 좋겠습니다. 

브레이크에는 여러 지렛대와 케이블의 작용들이 있는데 이것들을 모두 고려할 수도 있겠지만, 

결국은 복잡한 도르레의 힘 효율을 다루듯이 에너지 보존을 이용하여,

손가락의 이동 거리에 대한 패드의 이동 거리의 비율을 브레이크의 힘 효율로 생각하면 될 것입니다.

EE브레이크에 대해 직접 측정해보니 손가락이 14mm 이동하는 동안 패드 한쪽은 1.25mm 이동합니다. 

여기서 사실 대입하려고 하는 1.25mm는 패드의 실제 이동거리가 아니라 패드와 림 사이의 간격인데

패드 자체는 원호를 따라 삐딱하게 움직이므로 실제 이동거리는 1.25mm보다 큽니다. 

그러나 패드가 실제 마찰에 사용하는 힘은 림에 수직방향인 성분 뿐이므로

결국 이동변위의 수직성분만을 택하여 계산해도 되는 것입니다. 

그래서 이상적으로는 브레이크 암의 회전축이 가능한 림의 폭과 일치하는 것이 효율적임을 알 수 있습니다. 

또 패드가 양쪽에 두개이므로 이것을 고려하면 

EE브레이크의 힘 효율은 14/(1.25*2) = 5.6 입니다. 

예를 들어 보통 4kg중(40N)의 힘으로 브레이크 레버를 당기면

패드는 대략 22.4kg중(224N)의 힘으로 림을 누르게 됩니다. 

다시 돌아와서 원심방향으로 분해된 두 힘, 즉 파란색으로 표시된 두 힘은

지렛대의 회전에 전혀 관여하지 못하는 것을 알 수 있으며,

오직 원심방향에 수직인 접선방향의 힘, 즉 노란색으로 표시된 두 힘만이 회전에 관여함을 알 수 있습니다.

이때 여전히 브레이크는 회전하지 않으므로 토크의 총합이 0이 되어야 합니다. 

위 그림파일에서 필요한 지점들의 좌표를 따서 간단히 그리면 아래와 같습니다. 

위 과정을 요약하면 아래와 같습니다. 

우선 F=1 이라고 가정하였고 힘의 성분을 분해하여 

지오메트리에 의해 F_t 를 구할 수 있습니다. 

F_t 를 구하면 알짜토크가 0 이라는 사실로부터 f_t 를 구할 수 있고,

f_t 를 구하면 다시 힘의 합성과 지오메트리에 의해 f 가 구해진 것입니다. 

사실 면밀히 관찰하신 분은 눈치채셨겠지만 여기서 T와 L을 곱할 때 생략된 과정이 있습니다. 

왜냐하면 위쪽 작용점의 움직임은 실제로 힘 T와 나란한 방향이 아니기 때문입니다.

그러므로 변위벡터와 힘 T를 내적해야 하고, 따라서 그 사이각을 따져야 하는데,

그럼에도 불구하고 위와 같은 방법으로 측정한 L에 대하여 여전히 그 에너지를 TL로 둘 수 있습니다.

이부분에 대한 설명은 그리 어렵지는 않으나 그림도 복잡해지고 번거롭기도 해서 생략하겠습니다..

이제 마지막으로 왼쪽 위에 있는 가장 복잡한 지렛대로 가서 연립방정식을 풀어보도록 하겠습니다. 

왼쪽 위의 지렛대는 작용점이 4개입니다. 그러므로 힘도 4개입니다. 

차후의 계산 편의를 위해 가장 아래 있는 작용점이 받는 힘은 원심성분과 접선 성분으로 분해하였습니다. 

최초의 의문이 과연 이 브레이크가 좌우대칭적으로 움직이도록 설계되어 있는지 확인하는 것이므로

여기서 구한 노란 색 힘이 위에서 구한 오른쪽 레버의 f_t 와 같은지 알아보는 것이 이 계산의 주된 목표입니다. 

이 힘들 중 우선 우리가 현재 알고 있는 힘과 풀어야 하는 힘을 구분해 보겠습니다. 

먼저 빨간색으로 표현된 힘은 조금 전 구한 f와 같으므로 방향과 크기를 모두 알고 있습니다. 

그리고 보라색으로 표현된 장력(과 같은 힘)도 방금 구해서 알고 있습니다. 

가운데 있는 밝은 연두색의 막대를 관찰해보면 

이 막대는 전면 패널과 연결되어 있는데 패널 자체는 움직이지 않으므로 

이 막대는 오직 회전운동만 할 수 있습니다. 

그러므로 파란색으로 표현된 힘은 앞서 얘기한 쓰레기통 처럼 

비록 방향은 조금씩 바뀔 수 있으나 언제나 항력으로 전체 합력을 0으로 만드는 역할을 하고 있습니다. 

결국 파란색 힘도 방향은 알고 있으나 크기는 아직 모르니 구해야 합니다. 

맨 아래 작용점의 노란색과 녹색으로 표현된 힘은 하나의 힘을 분해한 것입니다. 

두 힘의 방향은 모두 알고 있으나 크기는 모릅니다. 

다만 우리는 계산결과 노란색 힘의 크기가 f_t 와 같은지 확인해보려 합니다. 

(희망컨데 완전히 같기를 기대하고 있습니다..)

그러므로 모든 힘의 방향은 밝혀져 있으며, 

크기만 구하면 되는 힘이 파란색, 녹색, 노란색으로 세 개입니다. 

이렇게 구해야 하는 미지수가 세 개이기 때문에 

방정식을 세 개 이상 얻을 수 있으면 모두 풀 수 있게 됩니다. 

그런데 다행히 알짜힘의 x성분, y성분, 그리고 알짜토크를 이용하면 세 개의 방정식이 나오므로

세 개의 미지수를 모두 풀 수 있는 문제가 되었습니다. 

여기서 녹색으로 표시된 힘은 실제로는 반대방향일 수도 있지만 

아직 알 수 없으므로 우선 아래쪽으로 그렸습니다. 

만약 계산 후 그 값이 음수로 나오면 방향을 위쪽으로 바꿔주어야 합니다.

이제 각 힘을 계산하기 위해 아래와 같이 도식화 해보겠습니다. 

이때 보라색 작용점 C의 위치는 사실 접촉면이 되어야 하므로 그 위치로 이동하여 도식화합니다.

토크 계산시에 원점은 임의로 설정해도 되므로 

 계산량을 줄이기 위해 맨 아래 작용점을 기준점(원점)으로 두겠습니다. 

드디어 결과가 나왔으므로 최초의 의문에 답할 수 있습니다. 

위에서 구한 f_t 의 값은 0.836 이고 마지막에 구한 X의 값은 0.875입니다. 

레버를 움직이는 동안 이 두 값이 항상 같으면 좌우 패드가 대칭적으로 움직일 것으로 생각할 수 있습니다. 

그런데 지금은 약간의 차이가 발생하였고 그 비율은 

(0.875-0.836)/0.875 = 0.0446 = 4.4%

이므로 지금까지의 계산이 정확하다면 

현재 그림 상황에서는 왼쪽 레버가 4.4%만큼 더 큰 힘을 받게 됩니다. 

만약 실제로 왼쪽레버가 더 큰 힘을 받는다고 가정하면

이것은 왼쪽 레버가 정지상태에 있지 않다는 것을 의미하게 됩니다. 

토크합이 0 이 아니므로 정역학이 아닌 동역학 상태에 있는 것이지요.

그러나 분명 브레이크는 멈춰있는 상태이므로 

결국 어디선가 '좌우대칭'이라는 가정이 깨진 것을 의미하게 됩니다. 

그러므로 왼쪽레버가 받는 힘이 더 크다면 어쨌든 양쪽 패드의 움직임은 좌우 대칭이 되지 못한다는 것입니다. 

그러나 4.4% 이면 100% 중에서는 아주 작은 수치로 볼 수 있고, 

다음 세 가지 오차를 감안하면 충분히 오차범위 이내인 것으로 생각됩니다.

(1) 측정오차.(그다지 정밀하게 측정한 것이 아니므로)

(2) 지오메트리를 근사시키면서 발생한 오차.

(3) 유효숫자가 3~4개인 값들로 계산을 반복하면서 발생한 오차.

그리고 위 과정에서 반영하지 않고 무시한 요소가 있습니다.

위 그림에서 밝은 연두색으로 표현된 막대는 사실 작동중에 조금 회전합니다.

그리고 그 막대의 방향은 언제나 파란색 힘의 방향과 나란하므로 

파란색 힘, 즉 Z의 방향이 작동 중에 조금씩 바뀐다는 것입니다. 

위에 있는 브레이크 작동 동영상을 보면 작용점 A가 미세하게 아래쪽으로 이동함을 확인할 수 있습니다. 

즉 작동 중에 지오메트리의 변화로 방정식도 조금씩이나마 계속 바뀌므로 

X 와 f_t 의 비율에도 영향을 미칠 것입니다. 

하지만 아마도 이정도 결과라면 실제로는 

제품 설계나 제작시에 좌우 토크가 서로 거의 완전히 같아지도록 미세조정 되었을 거라고 생각합니다. 

어쨌든 이번 글에서는 이 

EE브레이크가 "거의"좌우 대칭으로 움직일 수 밖에 없음을 역학적으로 확인하였습니다.